三角関数の微分と積分
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Ｓ字加減速​
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モーターを滑らかに加速と減速をすることをＳ字加減速​と言います。​

| 急に加減速をすると、大きな電流が流れて過電流になる危険があるので
| 滑らかな加減速は重要です。

Ｓ字加減速​には一般に三角関数を使います。

まず、距離や速度の関係をまとめます。

.. image:: ../img/math/dist.png

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距離の微分が速度です。​

.. image:: ../img/math/vel.png

| 加減速時間を :math:`t_1` 、等速時間を :math:`t_2` とします。
| 加速中の移動距離を :math:`S_1` 、等速での移動距離を :math:`S_2` とします。
| 最高時速を :math:`v_{max}` とします。

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.. image:: ../img/math/acc.png

速度の微分が加速度です。​

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.. image:: ../img/math/jerk.png

加速度の微分を躍度と言います。​



躍度 :math:`\mathrm{jerk}` を以下の式で定義します。

.. math::
    \begin{eqnarray}
        \mathrm{jerk}(t)
        =
        \begin{cases}
            A \ \sin(\omega t)    & ( \boldsymbol{加速中} ) \\
            0                     & ( \boldsymbol{等速中} ) \\
            - A \ \sin(\omega t)  & ( \boldsymbol{減速中} )
        \end{cases}
    \end{eqnarray}


以下では証明は省略して結果だけを書きます。

加速度 :math:`\mathrm{acc}`

.. math::
    \mathrm{acc}(t) = \frac{A}{\omega} \ (1 - \cos(\omega t))

速度 :math:`\mathrm{vel}`

.. math::
    \mathrm{vel}(t) = \frac{A}{\omega} \ (t - \frac{\sin(\omega t)}{\omega})

距離 :math:`S`

.. math::
    S(t) = \frac{A}{\omega}( \frac{1}{2} t^2 + \frac{\cos(\omega t) - 1}{\omega^2}  )

躍度の定義式の中のω

.. math::
    \omega = \frac{2 \pi}{t_1}


躍度の定義式の中のA

.. math::
    A = \frac{v_{max} \ \omega^2}{2 \ \pi}

加速中の移動距離 :math:`S_1`

.. math::
    S_1 = \frac{v_{max} \ t_{1} }{2}

上の :math:`S_1` の式はとても重要です。

実際にロボットアームを制御するときは、最高速度 :math:`v_{max}` と加速時間 :math:`t_{1}` を調節して、指定した距離を移動します。